求一道高二数学题解答设0

陈白尘回答：

　　用反证法来证明：

　　假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,

　　由于a,b,c∈(0,1),

　　所以

　　√[(1-a)b]>1/2,

　　√[(1-b)c]>1/2,

　　√[(1-c)a]>1/2,

　　即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①

　　又因为

　　√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②

　　√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,

　　√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,

　　所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,

　　这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.

　　所以假设不成立,

　　故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.

　　注：本题用到了以下的基本不等式：

　　由于(√a-√b)^2≥0,展开得：a+b≥2√ab,即：√ab≤(a+b)/2.

　　②式利用了该基本不等式.